Annealed deviations of random walk in random scenery

Let (Zn)n∈N be a d-dimensional random walk in random scenery, i.e., with (Sk)k∈N0 a random walk in Zd and (Y(z))z∈Zd an i.i.d. scenery, independent of the walk. The walker's steps have mean zero and some finite exponential moments. We identify the speed and the rate of the logarithmic decay of for various choices of sequences (bn)n in [1,∞). Depending on (bn)n and the upper tails of the scenery, we identify different regimes for the speed of decay and different variational formulas for the rate functions. In contrast to recent work [A. Asselah, F. Castell, Large deviations for Brownian motion in a random scenery, Probab. Theory Related Fields 126 (2003) 497–527] by A. Asselah and F. Castell, we consider sceneries unbounded to infinity. It turns out that there are interesting connections to large deviation properties of self-intersections of the walk, which have been studied recently by X. Chen [X. Chen, Exponential asymptotics and law of the iterated logarithm for intersection local times of random walks, Ann. Probab. 32 (4) 2004].

RésuméSoit (Zn)n∈N une marche aléatoire en paysage aléatoire sur Zd ; il s'agit du processus défini par , où (Sk)k∈N0 est une marche aléatoire à valeurs dans Zd, et le paysage aléatoire (Y(z))z∈Zd est une famille de variables aléatoires i.i.d. indépendante de la marche. On suppose que S1 est centrée et admet certains moments exponentiels finis. Nous identifions la vitesse et la fonction de taux de , pour diverses suites (bn)n à valeurs dans [1,∞[. Selon le comportement de (bn)n et de la queue de distribution du paysage aléatoire, nous découvrons différents régimes ainsi que différentes formules variationnelles pour les fonctions de taux. Contrairement au travail récent de A. Asselah et F. Castell [A. Asselah, F. Castell, Large deviations for Brownian motion in a random scenery, Probab. Theory Related Fields 126 (2003) 497–527], nous étudions le cas où le paysage aléatoire n'est pas borné. Finalement, nous observons des liens intéressants avec certaines propriétés d'auto-intersection de la marche (Sk)k∈N0, récemment étudiées par X. Chen [X. Chen, Exponential asymptotics and law of the iterated logarithm for intersection local times of random walks, Ann. Probab. 32 (4) 2004].