Concentration of mass on the Schatten classes

Pour tout 1⩽p⩽∞, soit B(Spn)˜ la boule unité des classes de Schatten à trace, normalisée pour avoir un volume égal à 1. Nous prouvons que pour tout t⩾1,λ({T∈B(Spn)˜:‖T‖HSn⩾c1t})⩽exp(−c2tnkp) où kp=min{2,1+p/2}, c1,c2>1 sont des constantes universelles et λ désigne la mesure de Lebesgue. Ce phénomène de concentration du volume à l'intérieur d'une boule euclidienne de rayon proportionnel à n découle d'un comportement presque constant des normes Lq (par rapport à la mesure de Lebesgue sur B(Spn)˜) de la norme Hilbert-Schmidt d'un opérateur T. Le même phénomène de concentration est valable pour tous les ensembles classiques de matrices : les matrices symétriques réelles, les matrices hermitiennes, les matrices symplectiques ou encore les matrices hermitiennes antisymétriques. De plus, le résultat est optimal lorsque p=1 et p⩾2.