On tails of stationary measures on a class of solvable groups

Let G be a subgroup of GL(R,d) and let (Qn,Mn) be a sequence of i.i.d. random variables with values in Rd⋊G and law μ. Under some natural conditions there exists a unique stationary measure ν on Rd of the process Xn=MnXn−1+Qn. Its tail properties, i.e. behavior of as t tends to infinity, were described some over thirty years ago by H. Kesten, whose results were recently improved by B. de Saporta, Y. Guivarc'h and E. Le Page. In the present paper we study the tail of ν in the situation when the group G0 is Abelian and Rd is replaced by a more general nilpotent Lie group N. Thus the tail behavior of ν is described for a class of solvable groups of type NA, i.e. being semi-direct extension of a simply connected nilpotent Lie group N by an Abelian group isomorphic to Rd. Then, due to A. Raugi, (N,ν) can be interpreted as the Poisson boundary of (NA,μ).

RésuméSoit G un sous groupe de GL(R,d) et soit (Qn,Mn)∈Rd⋊G une suite de variables aléatoires indépendantes de loi μ. Sous des hypothèses convenables il y a une unique mesure stationnaire ν sur Rd pour le processus auto-régressif linéaire Xn=MnXn−1+Qn. Les propriétés asymptotiques de la queue , t→∞, ont été étudiées par H. Kesten il y a 30 ans et plus récemment de nouveaux résultats ont été obtenus par B. de Saporta, Y. Guivarc'h and E. Le Page. Dans cet article on étudie le cas où G est abélien et Rd est remplacé par un groupe de Lie nilpotent N. On obtient alors le comportement à l'infini de la queue de ν pour une classe particulière de groupes de tyle NA produits semi-direct d'un groupe N simplement connexe N avec G=Rd. Dans ce cas pariculier (N,ν) est un bord de Poisson au sens de A. Raugi.