One-dimensional diffusion in an asymmetric random environment

According to a theorem of S. Schumacher, for a diffusion X in an environment determined by a stable process that belongs to an appropriate class and has index a, it holds that Xt/a(logt) converges in distribution as t→∞ to a random variable having an explicit description in terms of the environment. We compute the density of this random variable in the case the stable process is spectrally one-sided. This computation extends a result of H. Kesten and quantifies the bias that the asymmetry of the environment causes to the behavior of the diffusion.

RésuméSelon le théorème de S. Schumacher, si l'on a une diffusion X dans un environnement déterminé par un processus stable appartenant à une classe appropriée et avec un exposant a, il est établi que Xt/a(logt) converge, à distribution que t→+∞, vers une variable aléatoire néanmoins spécifiquement identifiable selon les paramètres de l'environnement. Nous calculons alors la distribution de probabilité de la variable aléatoire dans le cas où le processus stable a un spectre unilatéral. Ce calcul prolonge la portée des résultats publiés par H. Kesten et quantifie l'influence que l'asymétrie de l'environnement a sur le comportement de la diffusion.