New scaling of Itzykson–Zuber integrals

We study asymptotics of the Itzykson–Zuber integrals in the scaling when one of the matrices has a small rank compared to the full rank. We show that the result is basically the same as in the case when one of the matrices has a fixed rank. In this way we extend the recent results of Guionnet and Maïda who showed that for the fixed rank scaling, the Itzykson–Zuber integral is given in terms of the Voiculescu's R-transform of the full rank matrix.

RésuméNous étudions les asymptotiques de l'intégrale de Itzykson–Zuber dans le cas où l'une des matrices est de rang petit. Nous prouvons que l'asymptotique obtenue est la même que lorsque la matrice est de rang fixe. De cette manière, nous étendons les récents résultats de Guionnet et Maïda, qui prouvent que en rang fixe, l'intégrale de Itzykson–Zuber s'exprime à l'aide de la R-transformée de Voiculescu de la matrice en rang plein.