Law of large numbers for a class of superdiffusions

Pinsky [R.G. Pinsky, Transience, recurrence and local extinction properties of the support for supercritical finite measure-valued diffusions, Ann. Probab. 24 (1) 237–267] proved that the finite mass superdiffusion X corresponding to the semilinear operator Lu+βu−αu2 exhibits local extinction if and only if λc⩽0, where λc:=λc(L+β) is the generalized principal eigenvalue of L+β on Rd. For the case when λc>0, it has been shown in Engländer and Turaev [J. Engländer, D. Turaev, A scaling limit theorem for a class of superdiffusions, Ann. Probab. 30 (2) 683–722] that in law the superdiffusion locally behaves like exp[tλc] times a non-negative non-degenerate random variable, provided that the operator L+β−λc satisfies a certain spectral condition (‘product-criticality’), and that α and μ=X0 are ‘not too large’.In this article we will prove that the convergence in law used in the formulation in [J. Engländer, D. Turaev, A scaling limit theorem for a class of superdiffusions, Ann. Probab. 30 (2) 683–722] can actually be replaced by convergence in probability. Furthermore, instead of Rd we will consider a general Euclidean domain D⊆Rd.As far as the proof of our main theorem is concerned, the heavy analytic method of [J. Engländer, D. Turaev, A scaling limit theorem for a class of superdiffusions, Ann. Probab. 30 (2) 683–722] is replaced by a different, simpler and more probabilistic one. We introduce a space–time weighted superprocess (H-transformed superprocess) and use it in the proof along with some elementary probabilistic arguments.

RésuméPinsky [R.G. Pinsky, Transience, recurrence and local extinction properties of the support for supercritical finite measure-valued diffusions, Ann. Probab. 24 (1) 237–267] a prouvé que le processus de superdiffusion de masse finie X correspondant á l'operateur semilinéaire Lu+βu−αu2 possède la propriété d'extinction locale si, et seulement si, λc⩽0, où λc:=λc(L+β) est la valeur propre principale généralisée de L+β dans Rd. Dans le cas où λc>0, et pour un opérateur L+β−λc satisfaisant une condition spectrale (de ‘criticalité-produit’), et pourvu que α et μ=X0 ne soient pas trop grands, Engländer and Turaev [J. Engländer, D. Turaev, A scaling limit theorem for a class of superdiffusions, Ann. Probab. 30 (2) 683–722] ont montré le processus se comporte localement et en loi comme exp[tλc] avec une constante multiplicative aléatoire non dégénérée.Dans cet article, nous montrons que la convergence en loi de [J. Engländer, D. Turaev, A scaling limit theorem for a class of superdiffusions, Ann. Probab. 30 (2) 683–722] peut être renforcée en la convergence en probabilité. De plus, l'espace Rd peut étre remplacé par un domaine euclidien quelconque.S'agissant de la preuve du theorème principal la lourde methode analytique de [J. Engländer, D. Turaev, A scaling limit theorem for a class of superdiffusions, Ann. Probab. 30 (2) 683–722] est remplacée par une approche probabiliste plus simple. Nous introduisons une renormalisation spatio-temporelle du superprocessus (‘H-transformed superprocess’) que nous utilisons dans la preuve combinée a des arguments probabilistes élémentaires.