Large deviations for rough paths of the fractional Brownian motion

Starting from the construction of a geometric rough path associated with a fractional Brownian motion with Hurst parameter given by Coutin and Qian in [Probab. Theory Related Fields 122 (2002) 108–140], we prove a large deviation principle in the space of geometric rough paths, extending classical results on Gaussian processes. As a by-product, geometric rough paths associated to elements of the reproducing kernel Hilbert space of the fractional Brownian motion are obtained and an explicit integral representation is given.

RésuméPartant de la construction de rough paths géométriques associés à un mouvement brownien fractionnaire d'indice de Hurst faite par Coutin et Qian dans [Probab. Theory Related Fields 122 (2002) 108–140], nous montrons un principe de grandes déviations dans l'espace des rough paths géométriques, généralisant des résultats classiques sur les processus gaussiens. Ceci nous amène à construire des rough paths géométriques au-dessus des trajectoires des éléments de l'espace autoreproduisant du brownien fractionnaire et à en donner une représentation intégrale explicite.