Two results on continuity and boundedness of stochastic convolutions

Two results are obtained concerning the continuity and local boundedness of stochastic processes of the form(f*Z)(t)=∫0tf(t−s)dZ(s),t⩾0, where f:[0,∞)↦R is a continuous function with f(0)=0f(0)=0 and Z   is a semimartingale. One states that the process f*Zf*Z is not always continuous. Specifically, for any symmetric Lévy process Z with paths of infinite variation there exists a function f  , as above, such that f*Zf*Z has locally unbounded paths almost surely.The other states that the process f*Zf*Z is continuous almost surely whenever f is a sample path of any continuous Gaussian process with stationary increments that is independent of Z and is equal to zero at zero.

RésuméPour les processus de la forme(f*Z)(t)=∫0tf(t−s)dZ(s),t⩾0, où f:[0,∞)↦R est une fonction continue telle que f(0)=0f(0)=0 et où Z   est une semimartingale, deux résultats trajectoriels sont présentés. Le premier montre que le processus f*Zf*Z n'est pas toujours continu. Plus précisément, pour tout processus de Lévy Z, symétrique et de variation infinie, il existe une fonction f   continue, avec f(0)=0f(0)=0, telle que f*Zf*Z a presque sûrement des trajectoires localement non bornées. Le deuxième résultat montre que f*Zf*Z est presque sûrement continu dés que f est une trajectoire d'un processus gaussien continu à accroissements stationnaires, nulle à l'origine, qui est de plus indépendant de Z.