Coarsening, nucleation, and the marked Brownian web

Coarsening on a one-dimensional lattice is described by the voter model or equivalently by coalescing (or annihilating) random walks representing the evolving boundaries between regions of constant color and by backward (in time) coalescing random walks corresponding to color genealogies. Asymptotics for large time and space on the lattice are described via a continuum space–time voter model whose boundary motion is expressed by the Brownian web (BW) of coalescing forward Brownian motions. In this paper, we study how small noise in the voter model, corresponding to the nucleation of randomly colored regions, can be treated in the continuum limit. We present a full construction of the continuum noisy voter model (CNVM) as a random quasicoloring of two-dimensional space time and derive some of its properties. Our construction is based on a Poisson marking of the backward BW within the double (i.e., forward and backward) BW.

RésuméLe coarsening sur un réseau uni-dimensionnel est décrit par le modèle du votant ou de manière équivalente par des marches aléatoires coalescentes (ou annihilantes), qui modélisent l'évolution des frontières séparant les régions de différentes couleurs, et par des marches aléatoires coalescentes backward (en temps) qui correspondent aux généalogies des couleurs. Les limites en espace et en temps sur le réseau sont décrites par le Brownian web (BW) associé à des mouvements browniens coalescents forward. Dans cet article, nous étudions comment un faible bruit dans le modèle du votant, correspondant à la nucléation de régions colorées aléatoires, peut être traité dans la limite continue. Nous présentons une entière construction du modèle du votant avec bruit continu (CNVM), vu comme une quasi-coloration aléatoire bidimensionnelle en espace et en temps, et nous décrivons certaines de ses propriétés. Notre construction est fondée sur un marquage de Poisson des BW backward dans le double (i.e., forward et backward) BW.