Moderate deviations of empirical periodogram and non-linear functionals of moving average processes

A moderate deviation principle for non-linear functionals, with at most quadratic growth, of moving average processes (or linear processes) is established. The main assumptions on the moving average process are a Logarithmic Sobolev Inequality for the driving random variables and the continuity, or some (weaker) integrability condition on the spectral density (covering some cases of long range dependence). We also obtain the moderate deviation estimate for the empirical periodogram, exhibiting an interesting new form of the rate function, i.e. with a correction term compared to the Gaussian rate functional. As statistical applications we provide the moderate deviation estimates of the least square and the Yule–Walker estimators of the parameter of a stationary autoregressive process and of the Neyman–Pearson likelihood ratio test in the Gaussian case.

RésuméUn principe de déviations modérées pour des fonctionnelles non linéaires, à croissances quadratiques, des processus de moyennes mobiles (ou processus linéaire) est établi. Les conditions imposées sur le processus de moyennes mobiles sont une inégalité de Sobolev Logarithmique sur les variables aléatoires d'innovation et la continuité, ou une condition (plus faible) d'intégrabilité sur la densité spectrale (couvrant certains cas de longue mémoire). On obtient aussi une estimation des déviations modérées pour le périodogramme empirique, faisant apparaître une nouvelle forme de la fonction de taux, avec un terme correctif comparé à la fonction de taux gaussienne. Comme applications statistiques, on donne des estimations de déviations modérées pour les estimateurs de Yule–Walker et des moindres carrés du paramètre de processus autoregressif stationnaire, ainsi que pour le test de Neyman–Pearson pour le rapport de vraisemblance dans le cadre gaussien.