Conditioned Brownian trees

We consider a Brownian tree consisting of a collection of one-dimensional Brownian paths started from the origin, whose genealogical structure is given by the Continuum Random Tree (CRT). This Brownian tree may be generated from the Brownian snake driven by a normalized Brownian excursion, and thus yields a convenient representation of the so-called Integrated Super-Brownian Excursion (ISE), which can be viewed as the uniform probability measure on the tree of paths. We discuss different approaches that lead to the definition of the Brownian tree conditioned to stay on the positive half-line. We also establish a Vervaat-like theorem showing that this conditioned Brownian tree can be obtained by re-rooting the unconditioned one at the vertex corresponding to the minimal spatial position. In terms of ISE, this theorem yields the following fact: Conditioning ISE to put no mass on ]−∞,−ε[ and letting ε go to 0 is equivalent to shifting the unconditioned ISE to the right so that the left-most point of its support becomes the origin. We derive a number of explicit estimates and formulas for our conditioned Brownian trees. In particular, the probability that ISE puts no mass on ]−∞,−ε[ is shown to behave like 2ε4/21 when ε goes to 0. Finally, for the conditioned Brownian tree with a fixed height h, we obtain a decomposition involving a spine whose distribution is absolutely continuous with respect to that of a nine-dimensional Bessel process on the time interval [0,h], and Poisson processes of subtrees originating from this spine.

RésuméNous considérons un arbre brownien formé par une famille de trajectoires browniennes issues de l'origine sur la droite, dont la structure généalogique est le Continuum Random Tree (CRT). Cet arbre brownien peut être construit à partir du serpent brownien dirigé par une excursion brownienne normalisée, et fournit une représentation simple de la mesure aléatoire appelée ISE, qui peut être vue comme la probabilité uniforme sur l'arbre des trajectoires. Nous discutons différentes approches qui conduisent à la définition de l'arbre brownien conditionné à rester du coté positif. Nous établissons aussi un théorème à la Vervaat qui montre que cet arbre brownien conditionné peut être obtenu en réenracinant l'arbre non conditionné au sommet donnant la position spatiale la plus à gauche. Pour la mesure ISE, cela donne le résultat suivant : conditionner ISE à ne pas charger l'intervalle ]−∞,−ε[ et faire tendre ε vers 0 revient à translater la mesure non conditionnée vers la droite de façon que l'origine devienne le point le plus à gauche de son support. Nous donnons des estimations et des formules explicites pour l'arbre brownien conditionné. En particulier, la probabilité que ISE ne charge pas l'intervalle ]−∞,−ε[ se comporte comme 2ε4/21 quand ε tend vers 0. Finalement, pour l'arbre brownien conditionné avec une hauteur h, nous obtenons une décomposition combinant une arête principale, de loi absolument continue par rapport à celle d'une trajectoire de processus de Bessel de dimension 9 sur l'intervalle [0,h], avec un processus de Poisson de sous-arbres issus de cette arête principale.