Classification of spectra of the Neumann-Poincaré operator on planar domains with corners by resonance

Nous étudions les propriétés spectrales de l'opérateur Neumann-Poincaré sur les domaines planaires avec coins. Un accent particulier est mis sur l'existence d'un spectre continu et d'un point isolé du spectre. Nous montrons que le taux de résonance du spectre continu est différent de celui des valeurs propres. Nous dérivons ensuite une méthode pour distinguer spectre continu et valeurs propres. Nous effectuons des expériences numériques afin de voir si le spectre continu et les valeurs propres apparaissent pour des domaines avec coins. Pour les calculs, nous utilisons une modification de la méthode de Nyström. Elle permet la discrétisation convergente de l'opérateur Neumann-Poincaré d'ordre élevé sur des domaines avec coins. Les résultats des expériences montrent que tous les trois spectres possibles, spectre absolument continu, spectre singulier et point isolé du spectre, peuvent apparaître en fonction des domaines. Nous montrons aussi rigoureusement deux propriétés spectrales qui sont suggérées par des expériences numériques : la symétrie du spectre (y compris spectre continu), et de l'existence des valeurs propres sur des rectangles ayant des rapports d'aspect élevés.