Global (weak) solution of the chemotaxis-Navier-Stokes equations with non-homogeneous boundary conditions and logistic growth

Le comportement d'une suspension bactérienne dans une goutte de liquide incompressible est décrit par les équations de chemotaxis-Navier-Stokes. Cet article introduit un échange d'oxygène entre la goutte et son environnement et une croissance logistique de la population bactérienne. Le système généralise le prototype{nt+u⋅∇n=Δn−∇⋅(n∇c)+n−n2,x∈Ω,t>0,ct+u⋅∇c=Δc−nc,x∈Ω,t>0,ut=Δu+u⋅∇u+∇P−n∇φ,x∈Ω,t>0,∇⋅u=0,x∈Ω,t>0 associé à la donnée initiale (n,c,u)(⋅,0)=(n0,c0,u0) et aux conditions du bord∂c∂ν=1−c,∂n∂ν=n∂c∂ν,u=0,x∈∂Ω,t>0 d'où Ω⊂RN soit un domaine borné et convexe avec un bord lisse. En outre, φ soit un potentiel lisse gravitationnel. En supposant que la donnée initiale soit suffisamment régulière, on démontre l'existence d'une solution classique unique pour N=2 telle que ‖n‖Lp(Ω) est borné pour p<∞ et l'existence d'une solution faible globale pour N=3.