On spectral disjointness of powers for rank-one transformations and Möbius orthogonality

We study the spectral disjointness of the powers of a rank-one transformation. For a large class of rank-one constructions, including those for which the cutting and stacking parameters are bounded, and other examples such as rigid generalized Chaconʼs maps and Katokʼs map, we prove that different positive powers of the transformation are pairwise spectrally disjoint on the continuous part of the spectrum. Our proof involves the existence, in the weak closure of {UTk:k∈Z}, of “sufficiently many” analytic functions of the operator UT. Then we apply these disjointness results to prove Sarnakʼs conjecture for the (possibly non-uniquely ergodic) symbolic models associated to these rank-one constructions: All sequences realized in these models are orthogonal to the Möbius function.

RésuméNous étudions la disjonction spectrale des puissances dʼune transformation de rang un. Pour une large classe de constructions de rang un, incluant celles dont les paramètres de découpage et empilage sont bornés, ainsi que dʼautes exemples commes les transformations de Chacon généralisées et la transformation de Katok, nous prouvons que les puissances positives de la transformation sont deux-à-deux spectralement disjointes sur la partie continue du spectre. Notre preuve sʼappuie sur lʼexistence, dans la fermeture faible de {UTk:k∈Z}, de suffisamment de fonctions analytiques de lʼopérateur UT. Nous appliquons ensuite ces résultats de disjonction pour prouver la conjecture de Sarnak dans les modèles symboliques associés à ces constructions de rang un (qui peuvent ne pas être uniquement ergodiques) : toutes les suites réalisées dans ces modèles sont orthogonales à la fonction de Möbius.