Wave equation with p(x,t)p(x,t)-Laplacian and damping term: Blow-up of solutions

We study the Dirichlet problem for equationutt=div(a(x,t)|∇u|p(x,t)−2∇u)+α△ut+b(x,t)|u|σ(x,t)−2uutt=div(a(x,t)|∇u|p(x,t)−2∇u)+α△ut+b(x,t)|u|σ(x,t)−2u in which α   is a nonnegative constant, the coefficients a(x,t)a(x,t), b(x,t)b(x,t) and the exponents of nonlinearity p(x,t)p(x,t), σ(x,t)σ(x,t) are given functions. Under suitable conditions on the data, we study the finite time blow-up of the solutions.

RésuméOn considère le problème de Dirichlet pour lʼéquationutt=div(a(x,t)|∇u|p(x,t)−2∇u)+α△ut+b(x,t)|u|σ(x,t)−2uutt=div(a(x,t)|∇u|p(x,t)−2∇u)+α△ut+b(x,t)|u|σ(x,t)−2u où α⩾0α⩾0 est une constante, a(x,t)a(x,t), b(x,t)b(x,t) sont des coefficients variables et p(x,t),σ(x,t)p(x,t),σ(x,t) sont des exposants nonlinéaires. Sous conditions appropriées on étudie le temps fini de blow-up des solutions.