New asymptotic effects for the spectrum of problems on concentrated masses near the boundary

The Dirichlet and Neumann spectral problems for the Laplace operator in a bounded domain Ω⊂R2 are considered. We assume that Ω has a piecewise smooth boundary ∂Ω and the density function is equal to 1+ε−mχε in Ω, where ε>0 is a small parameter, m∈R and χε is the characteristic function of the union of small sets (the concentrated masses) distributed periodically near a straight segment Γ⊂∂Ω. We describe asymptotics for the eigenelements of both problems as ε→0. To cite this article: S.A. Nazarov, E. Pérez, C. R. Mecanique 337 (2009).

RésuméOn considére des problèmes spectraux pour l'opérateur de Laplace dans un domaine bornée Ω⊂R2 avec des conditions de Dirichlet et Neumann respectivement sur la frontière. On suppose que la frontière ∂Ω est régulière par morceaux tandis que la fonction densité prend la valeur 1+ε−mχε dans Ω, oú ε>0 est un petit paramètre, m∈R, et χε est la fonction caractéristique de l'union des petites ensembles (les masses concentrés), qui sont répartis périodiquement prés d'un segment droite Γ de la frontière, Γ⊂∂Ω. Nous décrivons le comportement asymptotique des valeurs propres de ces deux problèmes lorsque ε→0. Pour citer cet article : S.A. Nazarov, E. Pérez, C. R. Mecanique 337 (2009).