About Boussinesq's turbulent viscosity hypothesis: historical remarks and a direct evaluation of its validity

Boussinesq's hypothesis is at the heart of eddy viscosity models, which are used in many different fields to model turbulent flows. In its present time formulation, this hypothesis corresponds to an alignment between the Reynolds stress and mean strain tensors. We begin with historical remarks on Boussinesq's results and recall that he introduced a local averaging twenty years before Reynolds, but using an approach that prevented him from discovering Reynolds' stress tensor. We then introduce an indicator that characterizes the validity of this hypothesis. For experimental and numerical databases, when the tensors are known, this can be used to directly estimate the validity of this hypothesis. We show, using several different databases, that this hypothesis is almost never verified. We address, in conclusion, the analogy with kinetic theory, and the reason why this analogy cannot be applied, in general, for turbulent flows. To cite this article: F.G. Schmitt, C. R. Mecanique 335 (2007).

RésuméL'hypothèse de Boussinesq est au coeur des modèles de viscosité, utilisés dans un grand nombre de contextes pour modéliser des écoulements turbulents. Dans sa formulation moderne, cette hypothèse correspond à un alignement entre tenseur de contrainte de Reynolds et tenseur de déformation moyen. Nous rappelons le contexte historique de l'énoncé de cette hypothèse, en soulignant que Boussinesq avait introduit une moyenne locale vingt ans avant Reynolds, mais en effectuant une erreur qui l'a privé de la mise en évidence du tenseur de Reynolds. Nous introduisons ensuite un indicateur, compris entre 0 et 1, indiquant le degré de validité de cette hypothèse. Pour des bases de données expérimentales et numériques, lorsque les différents tenseurs sont connus, ceci permet de tester directement, a priori, cette hypothèse. Nous montrons ainsi, utilisant différentes bases de données d'écoulements turbulents, que l'hypothèse n'est presque jamais vérifiée. Nous discutons en conclusion de la théorie cinétique des gaz et de la raison pour laquelle cette analogie est discutable pour les écoulements turbulents. Pour citer cet article : F.G. Schmitt, C. R. Mecanique 335 (2007).