On the dual variable of the Cauchy stress tensor in isotropic finite hyperelasticity

Elastic materials are governed by a constitutive law relating the second Piola–Kirchhoff stress tensor Σ and the right Cauchy–Green strain tensor C=FTF. Isotropic elastic materials are the special cases for which the Cauchy stress tensor σ depends solely on the left Cauchy–Green strain tensor B=FFT. In this Note we revisit the following property of isotropic hyperelastic materials: if the constitutive law relating Σ and C is derivable from a potential ϕ, then σ and lnB are related by a constitutive law derived from the compound potential ϕ○exp. We give a new and concise proof which is based on an explicit integral formula expressing the derivative of the exponential of a tensor. To cite this article: C. Vallée et al., C. R. Mecanique 336 (2008).

RésuméLes matériaux élastiques sont régis par une loi de comportement reliant le second tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff Σ et le tenseur de Cauchy–Green droit C=FTF. Les matériaux élastiques isotropes sont les seuls matériaux pour lesquels le tenseur des contraintes de Cauchy σ ne dépend que du tenseur des déformations B=FFT. Dans cette Note nous revisitons la propriété suivante des matériaux isotropes hyperélastiques : si la loi de comportement reliant Σ et C dérive d'un potentiel ϕ, alors σ et lnB sont reliés par une loi de comportement dérivant du potentiel composé ϕ○exp. Nous donnons une preuve nouvelle et concise qui est basée sur une formule intégrale explicite exprimant la dérivée de l'exponentiel d'un tenseur. Pour citer cet article : C. Vallée et al., C. R. Mecanique 336 (2008).