Perturbation problems in homogenization of Hamilton-Jacobi equations

Nous étudions le comportement de la constante ergodique associée à une équation de Hamilton-Jacobi avec un hamiltonien convexe dans un environnement périodique, lorsque le hamiltonien est perturbé soit par une perturbation périodique avec une période tendant vers l'infini, soit par une perturbation de type Bernoulli avec un petit paramètre. Nous donnons un développement de Taylor de la constante ergodique qui dépend de la dimension. Lorsque d=1, le premier terme est non trivial, tandis que si d≥2, il est toujours nul. Bien que des questions similaires aient été étudiées dans le cadre de l'homogénéisation d'équation elliptiques linéaires, notre résultat est le premier de cette nature dans un cas non-linéaire. Nos arguments, qui reposent sur des techniques de solutions de viscosité et de théorie KAM faible, soulèvent de nombreuses questions nouvelles et stimulantes.