Boundedness of the density normalised Jones' square function does not imply 1-rectifiability

Récemment, M. Badger et R. Schul ont montré [4] que, si une mesure de Radon μ est 1-rectifiable, alors la fonctionnelle de Jones pondéréeJ˜2(x)=∑Q∈Dℓ(Q)≤1β2,μ2(3Q)ℓ(Q)μ(Q)1Q(x) est finie μ-p.p. Répondant à une question de Badger et Schul, nous montrons que la réciproque n'est pas vraie. Pour tout ϵ>0, nous construisons une mesure de Radon de probabilité sur [0,1]2⊂R2 telle que J˜2(x)≤ϵ pour tout x∈sptμ, alors que néanmoins la densité inférieure unidimensionnelle de μ s'annule presque partout. En particulier, μ est purement 1-non rectifiable.