Homogenization and non-homogenization of certain non-convex Hamilton-Jacobi equations

Nous poursuivons notre étude sur l'homogénéisation d'équations de Hamilton-Jacobi avec hamiltoniens coercifs non convexes dans des milieux aléatoires, et identifions deux classes générales de comportements très distincts. Pour la première classe de comportement, il n'existe pas de propriété d'homogénéisation pour un environnement particulier au moins, alors que pour la seconde classe le problème s'homogénéise dans des environnements à longueur de corrélation bornée. Motivés par le contre-exemple de Ziliotto, qui a récemment construit une équation de Hamilton-Jacobi dont le Hamiltonien est coercif, non convexe, avec un potentiel stationnaire ergodique, qui ne s'homogénéise pas, nous montrons que le même phénomène se produit pour les hamiltoniens coercifs qui ont un point-selle strict, une propriété qui est très locale. En utilisant le récent travail de Armstrong et Cardaliaguet sur l'homogénéisation de hamiltoniens aléatoires positivement homogènes dans des environnements à longueur de corrélation finie, on identifie aussi une nouvelle classe générale de hamiltoniens qui s'homogénéise, à savoir la classe de hamiltoniens avec des ensembles de sous-niveaux étoilés.