The vanishing discount problem and viscosity Mather measures. Part 1: The problem on a torus

On développe une approche variationnelle du problème d'actualisation évanescente pour des équations dégénérées elliptiques complétement non linéaires. Sous des hypothèses relativement faibles, on introduit des mesures de Mather de viscosité pour ces équations aux dérivées partielles, qui sont des extensions naturelles des mesures Mather. En utilisant les mesures de Mather de viscosité, on démontre que toute la famille des solutions vλ du problème d'actualisation de facteur λ>0 converge vers une solution du problème ergodique quand λ→0.