Topological derivatives for a class of quasilinear elliptic equations

La dérivée topologique pour des équations elliptiques quasilinéaires n'a pas encore été étudiée. De tels résultats font défaut pour pouvoir utiliser les méthodes d'asymptotique topologique en optimisation de formes dans le cadre de l'élasticité non linéaire ou en imagerie pour détecter des ensembles de codimension ≥2 (points en 2D, courbes en 3D). Notre contribution est d'obtenir pour la première fois la dérivée topologique pour une classe d'équations elliptiques quasilinéaires. Cette dérivée se compose d'un terme classique et d'un terme nouveau lié à la non linéarité de la partie principale. Le passage du linéaire au non linéaire nécessite d'importants changements dans la méthode d'analyse asymptotique. La question centrale est d'arriver à approcher la variation de l'état direct à l'échelle 1 dans RN. Pour cela, on construit des espaces fonctionnels appropriés et on utilite des techniques de comparaison. De plus, on établit un schéma de dualité entre les états direct et adjoint qui s'appliquent dans le cadre non linéaire à chaque étape de l'analyse.