Super-multiplicativity and a lower bound for the decay of the signature of a path of finite length

Pour une trajectoire de longueur L>0, si l'on multiplie le n-ième terme de la signature par n!L−n pour tout n≥1, la signature ainsi obtenue est dite « normalisée ». Il a été établi (T. J. Lyons, M. Caruana, T. Lévy, Differential equations driven by rough paths, Springer, 2007) que la norme du n-ième terme de la signature normalisée d'une trajectoire à variation bornée est majorée par 1. Dans cet article, nous étudions la super-multiplicativité de la norme de la signature d'une trajectoire de longueur finie, et nous démontrons, à l'aide du lemme de Fekete, l'existence d'une limite non nulle lorsque n tend l'infini pour la racine n-ième de la norme du n-ième terme de la signature normalisée.