Convergence in Wasserstein distance for self-stabilizing diffusion evolving in a double-well landscape

Il est bien connu (voir Bolley et al. [3]) qu'il existe une contraction en distance de Wasserstein entre la solution de l'équation des milieux granulaires et son unique état d'équilibre, pour peu que le potentiel de confinement soit strictement convexe. Néanmoins, dans le cas non convexe, on dispose de peu de résultats. En particulier, sous des conditions simples à vérifier, il n'y a pas unicité de l'état d'équilibre. Par conséquent, la méthode de Bolley, Gentil et Guillin ne peut pas être appliquée sous ces conditions. Toutefois, ici, nous présentons un exemple simple (par souci de simplicité) d'un potentiel de confinement à deux puits, et nous montrons la convergence vers 0 de la distance de Wasserstein entre la solution de l'équation des milieux granulaires et une application (qui caractérise les états d'équilibre) de cette solution.