Deformation of the product of complex Fano manifolds

Soit X une famille connexe des variétés de Fano complexes. On montre que, si une fibre est un produit de deux variétés de dimensions inférieures, alors il en est de même pour chaque fibre. En combinant avec un résultat de Hwang et Mok, ceci implique immédiatement que, si une fibre est un espace Hermitien symétrique de type compact, alors toutes les fibres sont isomorphes à cette variété.