Wave packets and the quadratic Monge-Kantorovich distance in quantum mechanics

Nous considérons dans ce texte la « pseudo-distance » entre densités quantiques introduite dans [F. Golse, C. Mouhot, T. Paul, Commun. Math. Phys. 343 (2016) 165-205], analogue à la distance quadratique de Monge-Kantorovich(-Vasershtein). Nous en étendons les bornes inférieures et supérieures aux quantifications positives définies en termes de la famille des espaces de phase translatés d'un opérateur de densité, pas nécessairement de rang 1 comme dans le cas de la quantification de Töplitz. Comme corollaire, nous démontrons que le taux de convergence uniforme, lorsque ħ tend vers 0, de la limite de champ moyen de l'équation de Heisenberg à N particules vaut pour une classe beaucoup plus large de données initiales que dans [F. Golse, C. Mouhot, T. Paul, Commun. Math. Phys. 343 (2016) 165-205]. Nous discutons également la pertinence de la pseudo-distance, comparée aux normes de Schatten, dans le but de métriser l'ensemble des opérateurs de densité quantique en régime semi-classique.