A generalised comparison principle for the Monge-Ampère equation and the pressure in 2D fluid flows

Nous étendons aux domaines non convexes le principe de comparaison généralisé pour l'équation de Monge-Ampère, dû à Rauch et Taylor. Nous en déduisons des bornes (supérieure et inférieure) pour les solutions de l'équation de Monge-Ampère avec second membre changeant de signe. En conséquence, si le second membre est négatif ou nul (et ne s'annule pas presque partout), alors l'équation avec condition au bord constante n'a pas de solution. En particulier, en raison d'une relation entre les équations de Navier-Stokes en dimension 2 et l'équation de Monge-Ampère, la pression p dans les équations de Navier-Stokes de dimension 2 sur un domaine borné Ω satisfait Δp≤0 dans Ω, à moins que Δp≡0 (à tout temps donné). Il en résulte qu'à tout temps t>0, il existe z∈Ω tel que Δp(z,t)=0.