Non-null-controllability of the Grushin operator in 2D

Nous nous intéressons à la contrôlabilité exacte à zéro de l'équation ∂tf−∂x2f−x2∂y2f=1ωu sur (−1,1)×T, avec contrôle u sur ω. Nous démontrons que si ω est le complémentaire d'une bande horizontale, l'équation considérée n'est contrôlable pour aucun temps. L'idée principale est d'interpréter l'inégalité d'observabilité comme une estimation sur les fonctions entières, que nous nions grâce au théorème de Runge. Pour réaliser cette interprétation, nous étudions en particulier la première valeur propre de −∂x2+(nx)2 avec conditions de Dirichlet sur ]−1,1[, et en obtenons une estimation assez précise, y compris pour certains n complexes.