A remark on Liao and Rams' result on the distribution of the leading partial quotient with growing speed en1/2 in continued fractions

Étant donné un réel x∈(0,1)∖Q, soit x=[a1(x),a2(x),⋯] son développement en fraction continue. Soit Tn(x):=max{ak(x):1≤k≤n} le plus grand quotient partiel jusqu'à n. Pour tout α∈(0,∞),γ∈(0,∞), soit F(γ,α):={x∈(0,1)∖Q:limn→∞⁡Tn(x)enγ=α}. Pour un ensemble E⊂(0,1)∖Q, soit dimHE sa dimension de Hausdorff. Récemment, Lingmin Liao et Michal Rams ont montré que dimHF(γ,α)={1siγ∈(0,1/2)1/2siγ∈(1/2,∞) pour tout α∈(0,∞). Dans cet article, nous montrons que dimHF(1/2,α)=1/2 pour tout α∈(0,∞) en suivant la méthode de Liao et Rams, ce qui complète leur résultat.