Lehmer's totient problem over Fq[x]

Dans cette Note, nous considérons l'analogue dans les corps de fonctions du problème de Lehmer sur la fonction d'Euler. Soit p(x)∈Fq[x] et φ(q,p(x)) la fonction d'Euler de p(x) sur Fq[x], où Fq désigne un corps fini à q éléments. Nous montrons que φ(q,p(x))|(qdeg⁡(p(x))−1) si et seulement si (i) p(x) est irréductible, ou (ii) q=3 et p(x) est le produit de deux polynômes irréductibles non associés de degré 1, ou (iii) q=2 et p(x) est le produit de tous les polynômes irréductibles de degré 1, ou le produit de tous les polynômes irréductibles de degrés 1 et 2, ou le produit de trois polynômes irréductibles de degrés 1, 2 et 3, respectivement.