Higher genus Kashiwara-Vergne problems and the Goldman-Turaev Lie bialgebra

Nous définissons une famille KV(g,n+1) de problèmes de Kashiwara-Vergne associés aux variétés compactes, connexes et orientées de dimension 2, de genre g avec n+1 composantes du bord. Le problème KV(0,3) est un problème classique de la théorie de Lie. Nous montrons l'existence de solutions de KV(g,n+1) pour tous g et n. Le point crucial est la résolution de KV(1,1), qui est basée sur les résultats de B. Enriquez sur les associateurs elliptiques. Notre construction est motivée par la question de formalité de la bigèbre de Lie de Goldman-Turaev g(g,n+1). Nous montrons que chaque solution de KV(g,n+1) induit un isomorphisme de bigèbres de Lie entre g(g,n+1) et sa graduée associée grg(g,n+1). Dans le cas où g=0, un résultat similaire a été obtenu par G. Massuyeau en utilisant l'intégrale de Kontsevich. Dans le cas de g≥1, n=0 nos résultats impliquent que l'obstacle à la surjectivité de l'homomorphisme de Johnson définie par le co-crochet de Turaev est équivalent à l'obstacle de Enomoto-Satoh.