A Hamilton-Jacobi method to describe the evolutionary equilibria in heterogeneous environments and with non-vanishing effects of mutations

Dans cette note, nous étudions un système d'équations intégro-différentielles elliptiques, décrivant une population structurée par trait phénotypique soumise à des mutations, à la sélection et à des migrations. Nous généralisons une approche basée sur des équations de Hamilton-Jacobi pour détérminer les termes dominants de la solution lorsque les effets des mutations sont petits (mais non nuls). Cette méthode était initialement utilisée, pour différents problèmes venant de la biologie évolutive, pour identifier les solutions asymptotiques, lorsque les effets des mutations tendent vers 0, sous forme de sommes de masses de Dirac. Un point-clé est une propriété d'unicité en rapport avec la théorie de KAM faible. Cette méthode nous permet d'aller au-delà des approximations gaussiennes habituellement utilisées par les biologistes, et contribue ainsi à relier les théories de la dynamique adaptative et de la génétique quantitative.