Weak solutions to a nonlinear variational wave equation with general data

Nous prouvons l'éxistence de solutions faibles globales pour le problème de Cauchy concernant une équation des ondes non variationnelles utt−c(u)(c(u)ux)x=0 avec des conditions initiales générales (u(0),ut(0))=(u0,u1)∈W1,2×L2 sous l'hypothèse que la vitesse d'onde c(u) vérifie c′(⋅)⩾0 et c′(u0(⋅))>0. De plus, nous obtenons une régularité élevée pour la dérivée spatiale ∂xu de l'amplitude u de l'onde loin de la zone où c′(u)=0. Cette équation intervient dans l'étude des crystaux liquides nématiques, d'ondes longues dans des chaînes dipolaires et de quelques autres domaines. Nous utilisons la méthode des mesures de Young dans le contexte d'espaces Lp et la méthode de renormalisation pour résoudre la difficulté de l'amplification par les termes à croissance quadratique de l'équation, des oscillations d'une suite d'approximations. Nous nous servons d'une estimée d'ordre élevé en espace et en temps pour ∂xu afin de traiter les concentrations éventuelles. Ce résultat étend nos résultats d'éxistence antérieurs pour des données initiales dans l'espace W1,∞×L∞ au cas naturel de l'espace W1,2×L2.