The multi-dimensional super-replication problem under gamma constraints

La stratégie de couverture classique d'une option européenne, dictée par le modèle de Black et Scholes, peut conduire à des rebalancements rapides du portefeuille répliquant. Afin d'éviter de telles situations indésirables, nous introduisons des contraintes spécifiques sur le portefeuille, appelées contraintes gamma. Il n'est alors pas possible en général de répliquer parfaitement l'option européene. Par conséquent, la surréplication est alors une alternative fréquemment utilisée. Dans ce papier, on caractérise l'infimum des capitaux initiaux qui permet à un investiseur de surrépliquer l'actif contingent en choisissant soigneusement une stratégie de portefeuile satisfaisant à une contrainte gamma. Nous montrons que cet infimum est l'unique solution de viscosité d'une équation aux dérivées partielles non standard. A cause de la borne inférieure sur la contrainte gamma, l'équation aux dérivées partielles « intuitive » n'est pas parabolique, et l'équation effectivemet satisfaite par l'infimum est le mojorant parabolique de l'équation « intuitive ». L'obtention de la propriété de viscosité s'appuie sur des résultats nouveaux portant sur des intégrales stochastiques doubles.