Three nodal solutions of singularly perturbed elliptic equations on domains without topology

Nous prouvons l'existence de trois solutions nodales du problème de Dirichlet pour l'équation −ɛΔu+u=f(u) avec ɛ>0 petit dans tous les domaines bornés Ω⊂RN. La nonlinéarité f est sur-linéaire et sous-critique. Nous n'avons pas besoin de conditions de symétrie ni de conditions géométriques ou de conditions liées à la topologie du domaine. Deux solutions admettent exactement deux domaines nodeaux et la troisiems admet au plus trois domaines nodeaux. Un résultat correspondant est valide pour l'équation semi-linéaire −Δu+u=f(u) dans le cas où Ω contient une grande boule.