Non-differentiable variational principles

(Principes variationnels non différentiable). Nous développons un calcul des variations pour des fonctionnelles définies sur un ensemble de courbes non différentiables. Pour cela, nous étendons le calcul différentiel classique, en calcul appelé calcul quantique, qui nous permet de définir un opérateur à valeur complexes, appelé dérivée d'échelle, qui est l'analogue non différentiable de la dérivée usuelle. On définit alors la notion d'extremale pour ces fonctionnelles pour lesquelles nous obtenons une caractérisation via une équation d'Euler-Lagrange généralisée. On prouve enfin que les solutions de l'équation de Schrödinger peuvent s'obtenir comme solution d'un problème variationnel non différentiable, étendant ainsi le principe de moindre action de Hamilton au cadre de la mécanique quantique. On discute enfin la connexion entre ce travail et la théorie de la relativité d'échelle développée par Nottale, et qui suppose une structure fractale de l'espace-temps.