Ray transforms in hyperbolic geometry

Nous présentons des formules explicites d'inversion permettant la reconstruction de fonctions et de champs de vecteurs à partir de leur intégration le long des géodésiques ou des horocycles associés à une métrique hyperbolique en dimension deux d'espace. L'intégration peut contenir un poids tenant compte de phénomènes d'absorption. La méthode de reconstruction utilise une complexification des champs de vecteurs associés à ces intégrales et écrits dans un système de coordonnées adapté, de manière à ce que l'inversion se ramène à la résolution d'un problème de type Riemann-Hilbert. Les formules d'inversion obtenues ont une structure très proche de celle que l'on connait en géométrie euclidienne, ce qui devrait en permettre une discrétisation numérique aisée. Le domaine principal d'application de cette inversion est l'imagerie en géophysique lorsque l'absorption de l'énergie mesurée est prise en compte.