On Pfaff systems with Lp coefficients and their applications in differential geometry

On montre qu'un système de Pfaff à coefficients dans Llocp, p>2, dans un ouvert simplement-connexe Ω de R2 admet au moins une solution non triviale de classe Wloc1,p(Ω), pourvu que ses coefficients satisfassent une condition de compatibilité au sens des distributions. Si, de plus, l'ensemble Ω est connexe, le problème de Cauchy associé au système de Pfaff admet une solution unique. Une application de ce résultat est que le théorème fondamental de la théorie des surfaces reste vrai sous l'hypothèse que les deux premières formes fondamentales soient respectivement de classe Wloc1,p et Llocp, avec p>2, et satisfassent ensemble les équations de Gauss et de Codazzi-Mainardi au sens des distributions.