Continuity of an optimal transport in Monge problem

Etant données deux mesures de probabilité absolument continues f± dans R2, on considère le problème classique du transport de Monge, avec la distance Euclidéenne comme fonction coût. On démontre l'existence d'un transport optimal continu, sous l'hypothèse que (les densités de) f± in R2 soient continues et strictement positives dans la partie intérieure de leur support, et que de tels supports soient convexes, compacts, et disjoints. On démontre avec plusieurs exemples que notre résultat est presque optimal. De plus, sous les mêmes hypothèses, on obtient aussi la continuité de la densité du transport.