Rational connectivity and sections of families over curves

Une “pseudo-section” d'une famille de variétés X sur une variété de base B est une sous-famille, dans X, de variétés rationnellement connexes, rationnellement définies sur B. Nous démontrons un théorème qui est une réciproque, en quelque sorte, du résultat principal de [T. Graber, J. Harris, J. Starr, Families of rationally connected varieties, J. Amer. Math. Soc. 16 (2003) 69-90] : une famille de variétés sur B possède une “pseudo-section” si sa restriction à chaque sous-famille à un paramètre possède une “pseudo-section” (ou ce qui revient au même, grâce à [T. Graber, J. Harris, J. Starr, Families of rationally connected varieties, J. Amer. Math. Soc. 16 (2003) 69-90], si et seulement si chaque sous-famille à un paramètre possède une section). Ceci est utile pour donner une réponse négative à une question posée par Serre à Grothendieck : il existe une famille de variétés O-acycliques (une famille de surfaces d'Enriques) paramétrée par P1 sans section.