Semicanonical bases and preprojective algebras

Nous étudions les propriétés multiplicatives de la base duale de la base semi-canonique de Lusztig. Les éléments de cette base sont naturellement paramétrés par les composantes irréductibles des variétés nilpotentes de Lusztig, qui peuvent être interprétées comme variétés de modules sur les algèbres préprojectives. Nous démontrons que le produit de deux vecteurs ρZ′ et ρZ″ de la base semi-canonique duale est encore un vecteur de la base semi-canonique duale si la somme directe des composantes irréductibles Z′ et Z″ est encore une composante irréductible. Il en résulte que les bases canonique et semi-canonique ne coïncident que pour le type de Dynkin An avec n⩽4. Finalement, nous étudions en détail les variétés de modules sur l'algèbre préprojective de type A5. Nous montrons que dans ce cas les propriétés multiplicatives de la base semi-canonique duale sont contôlées par la forme de Ringel d'une algèbre tubulaire de type (6,3,2) et par le système de racines elliptique de type E8(1,1) qui lui est associé.