A two-grid approximation scheme for nonlinear Schrödinger equations: dispersive properties and convergence

On introduit une méthode bi-maille semi-discrète en différences finies pour l'approximation numérique de l'équation de Schrödinger. On démontre la convergence L2 du schéma et des propriétés dispersives uniformes par rapport au pas du maillage. Une analyse soigneuse en Fourier du symbole du schéma (consistant essentiellement à projeter des données lentes sur un maillage fin) montre que l'algorithme bi-maille agit comme un filtre des hautes fréquences. On montre aussi la convergence du schéma dans une classe d'équations non-linéaires dont l'étude dans le cas continu nécessite des inégalités de Strichartz. Cette méthode donne une approche alternative à celle introduite par les auteurs [L.I. Ignat, E. Zuazua, Dispersive properties of a viscous numerical scheme for the Schrödinger equation, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 340 (7) (2005) 529-534] à l'aide d'un schéma avec viscosité numérique. Pour citer cet article : L.I. Ignat, E. Zuazua, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).