On logarithmic Sobolev inequalities for higher order fractional derivatives

Sur Rn, on établi l'existence d'inégalités de Sobolev logarithmiques optimales pour les dérivées fractionnelles d'ordre supérieur. Soit s et α deux réels positifs. Pour toute fonction f ∈ Hs(Rn), on établit l'inégalité suivante : ∫Rn|f(x)|2ln(|f(x)|2‖f‖22)dx+(n+nslnα+lnsΓ(n2)Γ(n2s))‖f‖22⩽α2πs‖(−Δ)s/2f‖22. L'opérateur (−Δ)s/2 est defini dans les espaces de Fourier par (−Δ)s/2fˆ(k):=(2π|k|)sfˆ(k). Pour citer cet article : A. Cotsiolis, N.K. Tavoularis, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).