Nonlinear Schrödinger equations: concentration on weighted geodesics in the semi-classical limit

On considère le problème ɛ2Δu−V(x)u+up=0,u>0,u∈H1(R2), avec p>1, où ɛ>0 est un petit paramètre et V est un potentiel régulier, uniformément positif. Soit Γ une courbe fermée formant une géodésique non dégénérée relativement à la longueur pondérée ∫ΓVσ, avec σ=p+1p−1−12. Nous démontrons l'existence d'une solution uε qui se concentre le long de la courbe Γ tout entière, exponentiellement petite en ɛ à toute distance positive de Γ, pourvu que ɛ soit petit et évite certaines valeurs critiques. Ceci répond affirmativement à une conjecture énoncée dans [A. Ambrosetti, A. Malchiodi, W.-M. Ni, Singularly perturbed elliptic equations with symmetry: existence of solutions concentrating on spheres, Part I, Commun. Math. Phys. 235 (2003) 427-466] dans le cas bi-dimensionnel. Pour citer cet article : M. del Pino et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).