Orbital stability and singularity formation for Vlasov-Poisson systems

Nous considérons le système de Vlasov-Poisson gravitationnel en dimensions N=3 et N=4 et replaçons l'étude de la stabilité non linéaire des états stationnaires dans le cadre des techniques de concentration compacité. En dimension N=3 où le problème est sous-critique, nous démontrons la stabilité orbitale dans l'espace d'énergie des polytropes qui sont des solutions stationnaires de type ground state, ce qui améliore pour cette classe les résultats déjà publiés. En dimension N=4 où le problème est L1 critique, les polytropes sont obtenus dans la lignée de Weinstein [M.I. Weinstein, Nonlinear Schrödinger equations and sharp interpolation estimates, Commun. Math. Phys. 87 (1983) 567-576] comme minimiseurs d'une inégalité de type Gagliardo-Nirenberg. Un fait remarquable est maintenant l'existence d'une symétrie conforme qui nous permet d'écrire des solutions explosives explicites de masse critique. Ceci constitue à notre connaissance le premier résultat de description d'une formation de singularité dans le cadre des équations cinétiques de type Vlasov. Un résultat général de concentration de masse est enfin obtenu pour les solutions explosives. Pour citer cet article : M. Lemou et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).