Minima of sequences of Gaussian random variables

Pour une suite a1,…,an des nombres réels, on note le k-ième plus petit membre par k-min1⩽i⩽nai. On démontre qu'il existe deux constants positives c et C telles que pour toute suite x1,…,xn des nombres réels et pour tout k⩽n, on ait cmax1⩽j⩽kk+1−j∑i=jn1/xi⩽Ek-min1⩽i⩽n|xigi|⩽Cln(k+1)max1⩽j⩽kk+1−j∑i=jn1/xi. Ici gi∈N(0,1), i=1,…,n, sont des variables aléatoires Gaussiennes indépendentes. En plus, si k=1, on n'a pas besoin de l'indépendence des gi's pour obtenir l'inégalité du gauche. On démontre également les inégalités correspondantes pour Ek-min1⩽i⩽n|xigi|p. Pour citer cet article : Y. Gordon et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).