On the non existence of monotone linear schema for some linear parabolic equations

Dans cette Note, nous présentons un résultat de non existence de schémas linéaires monotones avec un stencil fixé sur un maillage carré pour certaines équations paraboliques en dimension 2. Les équations paraboliques que l'on considère proviennent de modèles de diffusion anisotrope. Une conséquence du résultat est qu'il n'existe pas de schémas linéaires monotones à neuf points pour l'équation de la chaleur monodimensionnelle immergée dans le plan, avec une direction arbitraire. Nous présentons quelques applications : à l'équation de Fokker-Planck-Lorentz pour les électrons dans le contexte de la physique des plasmas ; Un schéma linéaire monotone pour l'équation de la chaleur hyperbolique monodimensionnelle et traité comme un problème bidimensionnel ne peut pas être consistant dans la limite de diffusion pour une direction arbitraire de propagation. On examine aussi le cas de l'équation de Landau. Pour citer cet article : C. Buet, S. Cordier, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).