A (one-dimensional) free Brunn-Minkowski inequality

Nous présentons une version uni-dimensionnelle de la forme fonctionnelle de l'inégalité géométrique de Brunn-Minkowski en théorie des probabilités libres. L'argument s'appuie sur l'approximation matricielle déjà mise en œuvre récemment par Biane et Hiai et al. pour établir les analogues libres des inégalités de Sobolev logarithmique et de coût du transport pour des potentiels strictement convexes, qui sont ici déduits de l'inégalité de Brunn-Minkowski comme dans le cas classique. La méthode permet, de la même façon, d'étendre au cadre libre le théorème d'Otto-Villani assurant que l'inégalité de Sobolev logarithmique entraîne l'inégalité de transport. Pour citer cet article : M. Ledoux, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).