Small deviations for fractional stable processes

Soit {Rt,0⩽t⩽1} un processus de Riemann-Liouville α-stable symétrique avec paramètre de Hurst H>0. Considérons une semi-norme fonctionnelle ‖⋅‖ invariante par translation, β-autosimilaire et p-pseudo-additive. Nous montrons que si H>β+1/petγ=(H−β−1/p)−1 alors limɛ↓0ɛγlogP[‖R‖⩽ɛ]=−K∈[−∞,0), avec K finie dans le cas gaussien α=2. Lorsque α<2, nous montrons que K est finie quand R est continu et H>β+1/p+1/α. Nous montrons aussi que sous ces hypothèses limɛ↓0ɛγlogP[‖X‖⩽ɛ]=−K∈(−∞,0), où X est le mouvement fractionnaire linéaire α-stable avec paramètre de Hurst H∈(0,1) (lorsque α=2, X est le mouvement brownien fractionnaire usuel). Ces résultats généraux recouvrent de nombreux cas précédemment étudiés dans la littérature et prouvent l'existence de nouvelles constantes de petites déviations, aussi bien dans le cadre gaussien que non gaussien.